Если да, то как должен выглядеть процесс аттестации?

Здравствуйте!

1 вопрос: Уведомлять министерство образования о зачислении в иностранную школу не нужно.

2 вопрос: Заявление о зачислении в новую школу может подать один из родителей или законный опекун ребенка.  Отправить заявку можно дистанционно, через сайт госуслуг, а также отнести лично в школу или МФЦ. Собрать необходимый список документов и ждать ответа.

3 вопрос: Вам достаточно написать заявление о переводе в другую школу. Сохранять семейную форму обучения не нужно.

Ученик вправе сдавать промежуточную и государственную итоговую аттестацию в любой школе — муниципальной или частной — либо даже в вузе. Главное условие — наличие у организации государственной аккредитации по общеобразовательным программам основного общего или среднего общего образования. На случай, если вы вернетесь в Россию, обратитесь в любое образовательное учреждение и вам подробно объяснят, как будет проходить процесс аттестации.

Здравствуйте, нет уведомлять о поступлении в иностранную образовательную организацию государственные орган РФ не нужно. Действует общее правило, установленное ст. 44  Федерального закона от 29.12.2012 N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации»

Родители (законные представители) несовершеннолетних обучающихся имеют право:

выбирать до завершения получения ребенком основного общего образования с учетом мнения ребенка организации, осуществляющие образовательную деятельность.

По возращению в РФ отказать в поступлении в образовательную организацию Вам не могут, если это общее образование, порядок обычный – выбор образовательной организации, направление документов о ранее полученном образовании с заявлением, однако, возникнуть вопрос может по признанию уже полученного образования за границей и всё будет зависеть от того в какой стране Ваши дети обучались, должен быть договор с этой страной. Согласно ст. 107 вышеуказанного закона  

 В Российской Федерации признаются иностранное образование и (или) иностранная квалификация, подпадающие под действие международных договоров о взаимном признании, а также полученные в иностранных образовательных организациях, перечень которых с указанием соответствия получаемых в них образования и (или) квалификации образованию и (или) квалификации, полученным в Российской Федерации, устанавливается Правительством Российской Федерации.   

По семейному образованию – должна быть только одна форма образования  

В Российской Федерации образование может быть получено:

1) в организациях, осуществляющих образовательную деятельность;

Каковы особенности обучения вне образовательных организаций (экстерном)

2) вне организаций, осуществляющих образовательную деятельность (в форме семейного образования и самообразования).

(ст. 17 вышеуказанного закона).

Поэтому в данном случае Вам уже самостоятельно решать сведения о каком образовании предоставлять при последующем поступлении детей в образовательную организацию в РФ либо по семейному образованию либо по образованию за границей.