Подскажите, могу ли я оформить завещание по поводу способа моего захоронения после смерти и возложить обязанность его исполнения на одного из членов моей семьи?

Да можете. Оформите завещание у нотариуса.

Если ответ показался вам полезным, поставьте плюс.

Завещательное возложение, т.е. включенное в завещание условие о возложении на одного или нескольких наследников, либо на душеприказчика обязанности совершить какое-либо действие неимущественного характера, в том числе действие по погребению наследодателя в соответствии с его волей (завещательное возложение). 
Завещательное возложение — это сделка, совершенная под условием. Обязанность наследника как исполнителя возложения возникает только в том случае, если он принял наследство. Соответственно, обязанность душеприказчика как исполнителя такой сделки возникает только в том случае, если он согласился исполнить завещание.

Лицо, которому вы доверите исполнение своей воли, может быть абсолютно любым. Стоит только запомнить, что если вы назначаете исполнителем завещания не наследника по нему, то нужно обязательно выделить ему денежные средства на исполнение завещания из наследственного имущества.
 Оформить можно путем нотариального завещания, где указывается завещательное возложение, либо в простой письменной форме, которая может прилагаться к завещанию.