Бабушка ведь претендует получается только на 1 долю, а не половину квартиры?

Закон не предусматривает частичного вступления в наследство, либо наследует все и имущество и долги, либо отказывается от всего. В наследственную массу попадает все имущество умершего, если квартира была в долевой собственности, то наследуется только доля наследодателя в равных частях между всеми наследниками.

Здравствуйте!

Можно ли у нотариуса ей вступить лишь в наследство по одной квартире, а от остального написать отказ?

Нет, так нельзя — частичный отказ не разрешен законом, то есть либо принимать все (потом можно поделить между наследниками) либо отказываться от всего. 

Бабушка ведь претендует получается только на 1 долю, а не половину квартиры?

Бабушка вправе претендовать только на часть от доли своего сына, то есть если вас два наследника, доля отца будет делится поровну. 

Наследниками первой очереди по закону в соответствии со ст. 1042 ГК РФ являются переживший супруг, родители и дети умершего наследодателя.

Указанные наследники вступают в наследство и наследуют имущество умершего в равных долях.

На основании ст. 1157 ГК РФ

Наследник вправе отказаться от наследства в пользу других лиц (статья 1158) или без указания лиц, в пользу которых он отказывается от наследственного имущества.

Наследник вправе отказаться от наследства в течение срока, установленного для принятия наследства (статья 1154), в том числе в случае, когда он уже принял наследство.

В соответствии с ч. 3 ст. 1158 ГК РФ

Отказ от части причитающегося наследнику наследства не допускается.

Аналогично по принятию наследства:

Согласно п. 2 ст. 1152 ГК РФ

Принятие наследником части наследства означает принятие всего причитающегося ему наследства, в чем бы оно ни заключалось и где бы оно ни находилось.