То обстоятельство, что я заболел в последний день подачи заявления будет уважительной причиной для восстановления пропущенного срока?

Здравствуйте, Дмитрий!

Может быть расценено как уважительная причина.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 29 мая 2018 г. N 15 «О применении судами законодательства, регулирующего труд работников, работающих у работодателей — физических лиц и у работодателей — субъектов малого предпринимательства, которые отнесены к микропредприятиям»:

В качестве уважительных причин пропуска срока для обращения в суд могут расцениваться обстоятельства, объективно препятствовавшие работнику своевременно обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора, как то: болезнь работника, нахождение его в командировке, невозможность обращения в суд вследствие непреодолимой силы, необходимости осуществления ухода за тяжелобольными членами семьи и т.п.