Кто должен заниматься этой процедурой и как нам его выписать?

Здравствуйте!

В данном случае Вы как собственник жилого помещения (квартиры) вправе обратиться с соответствующим иском в суд.

Обращаетесь в районный суд с иском о признании утратившим права пользования жилым помеещнием и снятии с регистрационного учета.

В силу части 1 ст. 35 ЖК РФ

в случае прекращения у гражданина права пользования жилым помещением по основаниям, предусмотренным настоящим Кодексом, другими федеральными законами, договором или на основании решения суда данный гражданин обязан освободить соответствующе жилое помещение (прекратить пользоваться им).

Тот с кого сняли удочерение должен этим заниматься, если он собственник помещения. Или собственник помещения, если это кто-то другой. 

Если квартира муниципальная то все кто имеют регистрацию в этом помещении подают иск в суд по ст. 31 ч. 4 ЖК РФ.

 Статья 31 ЖК. Права и обязанности граждан, проживающих совместно с собственником в принадлежащем ему жилом помещении
4. В случае прекращения семейных отношений с собственником жилого помещения право пользования данным жилым помещением за бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не сохраняется, если иное не установлено соглашением между собственником и бывшим членом его семьи.

Встречала решения судов что ребенка могут не выписать, т.к. пишут в решении, что у него нет другого жилья. 

Здравствуйте!

В соответствии со ст. 143 СК РФ

При отмене судом усыновления ребенка взаимные права и обязанности усыновленного ребенка и усыновителей (родственников усыновителей) прекращаются и восстанавливаются взаимные права и обязанности ребенка и его родителей (его родственников), если этого требуют интересы ребенка.

На этом основании, и поскольку семейные отношения прекращены,  усыновитель должен обращаться с иском о признании утратившим право пользования жилым помещением усыновленного ребенка, е после отмены усыновления( удочерения), если он является собственником жилого помещения. 

При этом, также согласно п. 15 

Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 02.07.2009 N 14 «О некоторых вопросах, возникших в судебной практике при применении Жилищного кодекса Российской Федерации» по решению суда право пользования проживания может быть сохранено. 

подробнее по данной ссылке

www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_89120/06a45105b085227b81de9c834ba85af51bf67976/

Решение суда о признании утратившим право пользования жилым помещением является основанием для снятия с регистрационного учета, согласно п. 31 Постановления Правительства РФ от 17.07.1995 N 713