Нужно устраиваться как по основному месту работы или можно по совместительству?

Добрый день! Вопрос про договор о целевом обучении.

Заключала договор о целевом обучении на бакалавриат. После его окончания подписала договор об отсрочке трудоустройства на время обучения в магистратуре.

К моменту, когда я окончила магистратуру, начали звонить из организации и спрашивать, как я буду решать вопрос с целевым. Я сказала устно, что согласна на трудоустройство. После этого началось что-то непонятное. Отдел кадров говорит, чтобы я связалась со своим бывшим научным руководителем и узнала про трудоустройство к нему. Я сказала, что в тот отдел не хотелось бы и если есть возможность в другой, то хорошо. Они сказали, чтобы я нашла контакты того, к кому хочу и передала им. Я сказала, что этими контактами не обладаю.

Вчера мне позвонили еще раз и сказали, что у меня был месяц на трудоустройство и надо уже решать этот вопрос. Я ответила, что я не знаю, с кем мне связываться, тогда они наконец сами связались хотя бы с моим бывшим научником и он им ответил, что у них мест для трудоустройства нет.

Совсем интересной становится ситуация из-за того, что мой муж в такой же ситуации с целевым, как я, но его научник пока только устно сказал, что может его взять.

После отказа моего научника меня устраивать, отдел кадров предложил мне устроиться тоже к научнику моего мужа. На мой вопрос, кто должен связаться с ним - я или они сами, мне ответили «ну пусть муж договорится». На мои возражения, что они должны обеспечить трудоустройство, а не вешать это на нас, мне ответили, что у меня был месяц, чтобы устроиться. На мой вопрос, как я должна это сделать без предложения конкретных вакансий, мне ничего не ответили.

К сожалению разговоры были толко по телефону. Из переписок - только мое письмо с документами об образовании.

Вопрос: что делать в такой ситуации? Действительно ли я виновата, что не устроилась в течении месяца? Или ответственность на их стороне? Что делать в ситуации, когда буквально заставляют самой искать себе место в их организации?

И еще несколько вопросов конкретно по договору:

1. Если я отработаю несколько дней, какую сумму я должна возместить? Только сумму выплат стипендии или еще плюс штраф?

2. Можно ли работать не на полную ставку и не поменяются ли от этого условия по выплатам и отработанному времени?

3. Можно ли работать удаленно?

4. Нужно устраиваться как по основному месту работы или можно по совместительству?