И будет ли указано в свидетельстве, что сын получает 1/2 долю?

Добрый день, Полина.

Если наследодатель получила дом в дар, он является её личной собственностью, а не совместной собственностью супругов.

Следовательно, наследственной массой является весь дом, а не только супружеская доля. 

Если других наследников нет, муж и сын как наследники первой очереди, имеют право на 1/2 долю дома, каждый.

В случае, если муж отказывается от вступления в права наследования в пользу сына, то сын после вступления в права наследования и регистрации права, становится единоличным собственником данного дома — 1/2 по праву наследования и 1/2 по отказу в его пользу.

Если другого жилья у отца нет, я бы рекомендовал ему вступить в наследство на полагающуюся 1/2 долю данного дома, а затем сделать договор дарения на сына с условием пожизненного права пользования, так как в семейных отношениях всякое бывает и «погода» меняется часто.