Уважаемая Алина!
Права и обязанности бабушки-попечителя (мальчик же старше 14-ти лет?) невозможно делегировать третим лицам никакой довереностью, так как эти права и обязанности возникли у законного представителя не по праву рождения ребенка, а на основании выданного ему акта органа опеки и попечительства. «Ответственность за ребенка» как Вы написали — и есть основная обязанность опекуна. Доверенность выдается только для ведения дел какой-то конкретной категории, например, встпупление в наследство, и только с разрешения органа опеки и попечительства.
Относительно заочного обучения. Каждый гражданин имеет право обучаться заочно. Но после получения основного общего образования (9 классов) ребенок может поступить только в колледж, мне не известны колледжи с заочным обучением, только ВУЗы (простите, если я ошибаюсь).
Поскольку передоверить попечительство нельзя, то вопрос отъезда подопечного в другой город решается исключительно с тем органом опеки и попечительства, где он сейчас состоит на учете (ст.9 Федерального закона от 24.04.2008 N48-ФЗ «Об опеке и попечительстве»). Например, по достижении подопечным 16 лет возможно его отдельное проживание от попечителя, но с разрешения органа опеки и попечительства. При этом бабушка останется попечителем. П.2 ст.36 ГК РФ:
«Опекуны и попечители несовершеннолетних граждан обязаны проживать совместно со своими подопечными. Раздельное проживание попечителя с подопечным, достигшим шестнадцати лет, допускается с разрешения органа опеки и попечительства при условии, что это не отразится неблагоприятно на воспитании и защите прав и интересов подопечного.
Опекуны и попечители обязаны извещать органы опеки и попечительства о перемене места жительства.
Также ст.10 48-ФЗ предусматривает возможность назначения подопечному нескольких опекунов в исключительных случаях. Если бабушка и Вы докажете органу опеки и попечительства необходимость обучения подростка именно в Вашем городе, то Вас могут назначит вторым попечителем, а обязанности разделить между Вами и бабушкой. Но для назначения попечителем Вы должны быть признаны надлежащим кандидатом в опекуны (попечители), то есть соответствовать требованиям ст.35 ГК РФ, ст.146 СК РФ, ст.10 48-ФЗ, для чего будет необходимо собрать документы в соответствии с постановлением Правительства РФ от 18.05.2009 N423. Ваш возраст — не помеха, так как Вы — родная сестра. А вот по съемному жилью возможны вопросы, и необходим достаточный доход от трудовой деятельности. Учтите, что заключение кандидата выдает орган опеки и попечительства по месту Вашей постоянной регистрации (»прописке").