Что происходит с регистрацией ребенка в квартире отца при разводе родителей?

Здравствуйте, Ирина. Поскольку между расторжением брака и регистрацией нет никакой связи, ничего не происходит.

Если по закону, то  ребенок должен быть зарегистрирован с тем родителем. с которым он остался проживать.

Права родителей не могут быть производны от прав несовершеннолетних детей, соответственно, даже если у ребенка есть какое-то право, оно не создает никаких прав для матери. Не говоря о том, что регистрация по месту жительства, в принципе, никаких прав не создает. Она всего лишь указывает, где человек живет в настоящий момент. 

По выше указанным причинам при изменении семейного положения, переезде отца с регистрацией ничего не происходит. На место регистрации ребенка влияет только то, где проживает родитель, с которым он остался проживать. Если квартира находится в собственности у другого лица, собственник может признать ребенка не приобретшим права пользования и снять с регистрационного учета. 

Если муниципальная, у ребенка есть право пользования квартирой. Но если отец выезжает к другому постоянному месту жительства и расторгает договор соцнайма, ребенка также снимут с регистрации, поскольку несовершеннолетний не может проживать самостоятельно от родителей.