Нужно ли предоставить трудовой договор в течение 10 дней после подачи документов на гражданство РФ

То есть, Вы подавали на гражданство РФ как участник Государственной программы по оказанию содействия добровольному переселению в Российскую Федерацию соотечественников, правильно понимаю? 

П. 3 ст 16 ФЗ «О гражданстве Российской Федерации» от 28.04.2023 N 138-ФЗ

3. Иностранный гражданин… вправе подать заявление о приеме в гражданство Российской Федерации без учета требования, предусмотренного пунктом 1 части 1 статьи 15 настоящего Федерального закона, если указанные иностранный гражданин или лицо без гражданства имеет статус участника Государственной программы по оказанию содействия добровольному переселению в Российскую Федерацию соотечественников, проживающих за рубежом, или статус члена семьи участника указанной Государственной программы.

Кто у Вас запрашивает трудовой договор, Вы так и не ответили? 

В силу Указа Президента РФ от 22 июня 2006 г. N 637 «О мерах по оказанию содействия добровольному переселению в Российскую Федерацию соотечественников, проживающих за рубежом» 

14. Участник Государственной программы и члены его семьи при переселении на постоянное место жительства в Российскую Федерацию имеют право:

а) осуществлять трудовую деятельность в качестве наемного работника;

То есть, участник данной программы не обязан, а имеет права работать. 

Также, смотрим Указ Президента Российской Федерации от 22 ноября 2023 г. N 889 «Вопросы гражданства Российской Федерации» в части предоставления документов на гражданство РФ

45. При приеме в гражданство Российской Федерации на основании части 3 статьи 16 Федерального закона заявитель представляет:

а) свидетельство участника Государственной программы либо, если заявитель имеет статус члена семьи участника Государственной программы, его копию;

б) вид на жительство, разрешение на временное проживание, разрешение на временное проживание в целях получения образования, временное удостоверение личности лица без гражданства в Российской Федерации, визу, миграционную карту либо иной предусмотренный федеральным законом или международным договором Российской Федерации документ, подтверждающий право заявителя на пребывание или проживание в Российской Федерации;

в) один из указанных в подпункте «б» пункта 39 настоящего Положения документов, подтверждающих владение русским языком..

г) один из указанных в подпункте «в» пункта 39 настоящего Положения документов, подтверждающих знание истории России и основ законодательства Российской Федерации..

То есть, трудового договора в списке документов нет. 

Поэтому, непонятно, кто у Вас его запрашивает. И судя по всему устно? 

Не вижу оснований для его предоставления