Здравствуйте, Александр!
Согласно ст. 8 ФЗ-53:
2. Воинский учет граждан, за исключением граждан, указанных в пункте 3 настоящей статьи, осуществляется военными комиссариатами по месту их жительства, а граждан, прибывших на место пребывания на срок более трех месяцев или проходящих альтернативную гражданскую службу, — по месту их пребывания.
И здесь надо уточниться — если Вы не переезжали по месту пребывания, то и оснований становиться на учет в другом военкомате нет необходимости.
Если Вы сменили место работы, то обязаны согласно Приложения N 3 к Методическим рекомендациям Генерального штаба Вооруженных Сил РФ по ведению воинского учета в организациях (2017 г.):
сообщать в двухнедельный срок в военный комиссариат муниципального образования (муниципальных образований), в котором они состоят на воинском учете,… об изменении… места работы или должности, места жительства или места пребывания в пределах территории, на которой осуществляет свою деятельность военный комиссариат муниципального образования (муниципальных образований), в котором они состоят на воинском учете;
Также предусмотрен воинский учет по месту работы (не в военкомате) согласно Постановления Правительства РФ от 27 ноября 2006 г. N 719 и Методических рекомендаций ГШ ВС РФ по ведению воинского учета.
В организации должны вести учет работников, согласно Порядка осуществления воинского учета в организациях Положения о воинском учете, утвержденным постановлением Правительства РФ от 27 ноября 2006 г. N 719.
Также работник, ответственный за ведение воинского учета должен взаимодействовать с военкоматами, представлять им сведения необходимые сведения. Возможно, нежелание заниматься взаимодействием с военкоматом, где Вы состоите на воинском учете и есть причина таких требований.
Что делать увольняться и ехать жить по месту регистрации!?
Не вижу необходимости, на воинском учете Вы состоите.
Вот. Потому работодатель пусть сам сообщает о Вас сведения в военкомат, где состоите.