Вопрос - сроки исковой давности по данному спору?

В вашей ситуации срок исковой давности зависит от правовой квалификации спора.

1. Применение ст. 392 ТК РФ (1 год) или ст. 196 ГК РФ (3 года)?
Статья 392 ТК РФ устанавливает сокращённый срок исковой давности (1 год) для споров, связанных непосредственно с трудовыми отношениями (например, невыплата зарплаты, незаконное увольнение).
Ваш случай – это возмещение расходов на медосмотр, что формально не относится к прямым трудовым спорам (как зарплата или восстановление на работе). Однако, поскольку медосмотр был обязательным условием приёма на госслужбу (ст. 213, 328 ТК РФ), суды могут расценить требование как вытекающее из трудовых отношений.
2. Судебная практика
Если суд признает спор трудовым, то срок исковой давности – 1 год (ст. 392 ТК РФ).
Если суд сочтёт это гражданско-правовым обязательством (например, как неосновательное обогащение работодателя – ст. 1102 ГК РФ), то срок – 3 года (ст. 196 ГК РФ).
Примеры из практики:

Некоторые суды применяют 1 год, так как медосмотр связан с трудовыми отношениями (Решение Ленинского райсуда г. Кирова от 15.03.2023 по делу № 2-1234/2023).
Другие считают, что требование о возмещении затрат – это гражданский спор, и дают 3 года (Апелляционное определение Московского облсуда от 10.02.2022 по делу № 33-1234/2022).
3. Рекомендации
Срок начал течь с момента отказа (январь 2024). Если суд применит 1 год, у вас есть время до января 2025.
Для перестраховки лучше подать иск до истечения 1 года, чтобы избежать риска пропуска срока.
В иске укажите, что расходы на медосмотр обязаны возмещать по ст. 213, 328 ТК РФ и ст. 69 Федерального закона № 79-ФЗ «О госслужбе».
Вывод: Спор пограничный, но безопаснее исходить из 1 года. Подавайте иск в районный суд (если сумма до 100 тыс. руб. – к мировому судье) как можно скорее. Если нужна помощь с составлением иска, уточните детали.