И может ли она оставить завещание на своего сына?

Здравствуйте, Рома!

Соболезную вашей утрате...

Другой недвижимости у меня нету.

 у Вас и этой недвижимости «нету». У Вас есть только право пользования, пока на это согласна бабушка-собственник. Если Вы несовершеннолетний, то до 18 лет Вас из квартиры не выселят, если у Вас нет отца (или он не может по объективным причинам осуществлять свои родительские права). Суды обычно сохраняют за детьми право пользования жильем родственников, если у них нет права пользования в другом жилом помещении, где такое право есть у одного из их родителей.   

Если Вы совершеннолетний, то бабушка, естественно, не обязана Вам предоставлять жилье. 

Имеет ли право бабушка выписать меня из квартиры или продать её без меня ?

 да, имеет право. При продаже квартиры Ваше право пользования как члена семьи бывшего собственника прекращается и новый собственник может выселить Вас в судебном порядке, даже если Вы несовершеннолетний.

может ли она оставить завещание на своего сына ?

 да, может. При наследовании по закону внуки наследуют только по праву представления — в таких как у Вас случаях, так как Ваша мама — дочь бабушки умерла раньше бабушки. При наследовании по завещанию у Вас может быть право на обязательную долю, если Вы можете быть признаны иждивенцем бабушки на момент ее смерти. 

Если Вам помог мой ответ, Вы можете отблагодарить меня небольшой суммой через мой профиль по ссылке.

Дополнительные вопросы Вы можете задать мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).