Скажите нужна ли какая-то бумажка бабушке, которая отправиться с ребенком в поездку по России?

Здравствуйте!

В данном случае, учитывая что Ваш ребенок не будет выезжать за пределы Российской Федерации, оформлять согласие на бабушку не требуется. 

Вместе с тем нужно учитывать, что согласие может потребоваться при заселении ребенка с бабушкой в отель или в случае необходимости медицинской помощи ребенку во время поездки.

Следует помнить, что бабушка не является законным представителем ребенка, в отличие от Вас.