Рассматривалось в Ростове-на-Дону, на втором заседании выяснилось, что у виновника есть ДАГО, но после обращения в его страховую, страховая отказалась выплачивать ущерб

1. Надзорная жалоба в Президиум ВС РФ
Это последняя инстанция после отказа Судебной коллегии по гражданским делам Верховного суда.
Шанс есть только при наличии грубых нарушений процессуального права или новой важной информации, которую не учли предыдущие инстанции.
К примеру:

Суд не учёл неравномерное распределение судебных расходов (вы не проиграли по сути, а фактически добились выплаты, которую отказалась платить страховая).
Экспертиза ошибочна, а решение строилось на ней.
Значимое нарушение при назначении/исполнении экспертизы (например, недопустимо, чтобы повторную делала та же спорная организация).
Суд проигнорировал позицию об обогащении ответчика, получившего выгоду от судебного процесса без несения расходов.
Это сложно, но возможен шанс, если правильно сформулировать нарушение права на справедливое судебное разбирательство.
Вам нужен опытный юрист по надзорным жалобам, который не будет работать шаблонно. Некоторые адвокаты берут % с суммы, если удаётся взыскать издержки.

 
2. Взыскание судебных издержек отдельно
В теории, если факт выплаты страховой произошел в ходе процесса по вашей инициативе, и суд признал, что выплата устранена после подачи иска, вы можете подать отдельный иск о возмещении понесенных судебных расходов, сославшись на п. 4 ст. 94 ГПК РФ — расходы подлежат возмещению даже при отказе от иска или прекращении производства, если истец действовал добросовестно и обоснованно.

Такой иск подается отдельно (в мировой суд), и суд оценивает разумность понесенных затрат. Это можно рассмотреть, если все инстанции по основному делу исчерпаны.
 
3. Подача жалобы в Конституционный суд РФ
Только если есть основания полагать, что норма закона применялась таким образом, что нарушила ваши конституционные права (например, право на судебную защиту или равенство сторон).
Очень редкий путь, но если системно нарушено право на возмещение затрат при фактическом достижении цели иска — шанс есть.
 
4. Проверка возможности взыскания убытков с экспертов
Если экспертиза действительно была сделана с грубыми математическими или методологическими ошибками, можно подать иск к экспертной организации о возмещении убытков, вызванных некачественной экспертизой (ст. 1064 ГК РФ, ст. 41 ФЗ «О государственной судебно-экспертной деятельности»).

Здравствуйте Владимир. 

До вынесения судом решения оплата за проведение экспертизы возлагается на лицо, заявившее о необходимости исследования. Однако после вынесения решения расходы по оплате работы экспертов возлагаются на сторону, потерпевшую поражение.  

Основанием для обжалования и назначения повторной экспертизы выступают возникшие сомнения в правильности или обоснованности ранее данного заключения, а также наличие противоречий в нём.  

Есть возможность оспорить результаты экспертизы и признать их недействительными. Для этого можно привлечь независимого специалиста, обладающего специальными знаниями для разъяснения сторонам и суду вопросов, входящих в его профкомпетенцию. 

Если удастся доказать необоснованность судебного акта о перечислении средств, эксперты будут обязаны вернуть деньги на депозитный счёт суда, а по итогам рассмотрения спора суд вернёт их сторонам спора в порядке распределения судебных расходов.