Если отец не вступил в наследство и прописан не был?

Здравствуйте Ирина.Может ли второй внук претендовать на счёт в банке? Вряд ли, если отец жив.

Потому что:

По закону счёт в банке наследуется сыном (отцом) как наследником первой очереди.
Внуки не наследуют напрямую, если их родитель (отец) жив.
Если отец не вступил в наследство в течение 6 месяцев и не принял его фактически, то наследство считается выморочным — оно отходит государству (ст. 1151 ГК РФ).
Второй внук не имеет самостоятельного права на счёт, если только отец не умер до бабушки (а он жив, по описанию).Ваши Возможные действия.Если отец хочет получить счёт:
Он может обратиться в суд для восстановления срока вступления в наследство, если были уважительные причины (болезнь, не знал о смерти и т.п.).Или доказать, что он фактически принял наследство — проживал в квартире, оплачивал счета, ухаживал за имуществом бабушки и т.п.
Второй внук может получить счёт только, если:
Отец официально откажется от наследства (сейчас уже поздно),
Или отец умрёт, не вступив в наследство, и тогда внуки смогут получить его долю как наследники уже от отца.
 Что делать дальше:
Если имущество ещё не признано выморочным, кто-то (отец или внук по завещанию) может попытаться через суд доказать фактическое принятие наследства.
Второму внуку стоит понимать, что без смерти отца или его отказа от наследства он не может быть наследником по закону в этой ситуации.
Квартира по завещанию может быть восстановлена — внук, указанный в завещании, может через суд восстановить срок, особенно если проживал и ухаживал за квартирой.

Пожалуйста, если Вам не трудно поставьте мне отзыв на мой ответ. Заранее спасибо.