Здравствуйте.
Для того чтобы оформить квартиру в собственность, например, в рамках приватизации, вы должны быть в ней зарегистрированы.
ст. 2 Закон РФ от 04.07.1991 N 1541-1 «О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации»
Статья 2. Граждане Российской Федерации, имеющие право пользования жилыми помещениями государственного или муниципального жилищного фонда на условиях социального найма, вправе приобрести их на условиях, предусмотренных настоящим Законом, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации и нормативными правовыми актами субъектов Российской Федерации, в общую собственность либо в собственность одного лица, в том числе несовершеннолетнего, с согласия всех имеющих право на приватизацию данных жилых помещений совершеннолетних лиц и несовершеннолетних в возрасте от 14 до 18 лет.
Таким образом, вам нужно заново заключить договор соцнайма, чтобы иметь право проживания в квартире с последующим оформлением ее в собственности.
Ваш прежний договор соцнайма считается расторгнутым с момента смерти нанимателя и выезда члена семьи в другое место жительства (ст. 83 ЖК).
В дополнение.
Право пользования жилым помещением переходит к членам семьи умершего нанимателя, которые проживали совместно с ним.
Препятствием может послужить Ваша прописка за последние 4 года.
По общим правилам,
если вы проживали в квартире совместно с отцом (нанимателем), то вы можете обратиться в суд с иском о признании себя членом семьи умершего нанимателя и сохранении права пользования жилым помещением. Это позволит вам стать нанимателем по договору социального найма вместо умершего отца.
Как указано в п.2 ст.686 ГК РФ
Отсутствие регистрации (прописки) в квартире не лишает права на проживание, если есть доказательства фактического проживания и участия в оплате коммунальных услуг.
В вашем случае мама проживала в квартире и оплачивала счета, хотя не была прописана.
Это может служить доказательством фактического принятия наследства или права пользования жильём. Для подтверждения факта проживания и оплаты коммунальных услуг можно использовать квитанции, свидетельские показания и иные документы.