Могу ли я после увольнения подать заявление на компенсацию за твердое топливо за 5 отработанных месяцев в этом году (январь-май)

Да, после увольнения можно подать заявление на компенсацию расходов на твёрдое топливо за период работы в сельской школе, так как педагогические работники, проживающие и работающие в сельских населённых пунктах, имеют право на такую компенсацию. 
Компенсация расходов на твёрдое топливо производится за весь календарный год исходя из нормативов с учётом транспортных расходов на его доставку, но не более фактически произведённых расходов.
Для получения выплаты необходимо в Управление соцзащиты или МФЦ по месту прописки предоставить соответствующие документы, в том числе заявление, справку с места работы и документы, подтверждающие факт приобретения твёрдого топлива.
Для получения более подробной информации и консультации по конкретному случаю рекомендуется обратиться в органы социальной защиты или образовательные учреждения, предоставляющие такие меры поддержки.