Что нужно сделать, в какие органы обратиться, чтобы избежать проблем с проверками и пр

Установите, кому принадлежит земельный участок, на котором планируется строительство площадки: частное лицо, муниципалитет или иное юридическое лицо.
Если участок находится в муниципальной собственности, размещение детской площадки возможно без предоставления отдельного земельного участка и установления сервитутов (п. 26 Постановления Правительства РФ от 3 декабря 2014 г. № 1300).
Если участок частный (например, ИЖС), установка площадки на собственном земельном участке не регулируется специальным законодательством, но рекомендуется согласовать проект с соседями и администрацией (ст. 37 Градостроительного кодекса РФ № 190-ФЗ от 29.12.2004, ст. 222 ГК РФ).
Для легковозводимых конструкций (детские площадки относятся к таким, не являясь объектами капитального строительства) получение разрешения на строительство и государственный строительный надзор не требуются (ч. 1 ст. 54 ГрК РФ, п. 10 ч. 1 ст. 1 ГрК РФ).
Тем не менее, рекомендуется уведомить местную администрацию о планируемом строительстве, особенно если площадка будет на муниципальной земле.
Если площадка устанавливается на территории многоквартирного дома, необходимо провести общее собрание собственников помещений для согласования (п. 2.1 ч. 2 ст. 44 ЖК РФ).
Оборудование и покрытия детской площадки должны соответствовать требованиям технического регламента Евразийского экономического союза «О безопасности оборудования для детских игровых площадок» (ТР ЕАЭС 042/2017), утверждённого Решением Совета ЕЭК от 17 мая 2017 г. № 21.
Сертификация оборудования обязательна, лицензия на установку и обслуживание не требуется.
Если площадка расположена на муниципальной земле, её обслуживание возлагается на муниципалитет.
Если площадка входит в состав общего имущества многоквартирного дома, обслуживание осуществляют собственники помещений (п. 4 ч. 1 ст. 36 ЖК РФ, Постановление Правительства РФ от 13.08.2006 № 491).
В случае инициативного проекта, реализованного администрацией, возможна передача площадки в собственность жителей на основании решения общего собрания собственников помещений МКД (п. 2.3 ст. 161 ЖК РФ).
Если строительство площадки осуществляется администрацией муниципального образования, расходы должны быть предусмотрены в бюджете на соответствующий финансовый год (ст. 45.1 Федерального закона № 131-ФЗ от 06.10.2003).
Закупки осуществляются в соответствии с Федеральным законом № 44-ФЗ от 05.04.2013.