Но работодалеть утверждает, что он должен оплатить за 3 дня только первого больничного, правильно ли он поступает?

Здравствуйте. Работодатель оплачивает 3 первых дня, с 4 оплачивает ФСС. Больничный продлевается по одному заболеванию, пусть даже путем закрытия старого и открытия нового, но юридически это считается продолжением одного страхового случая по одному заболеванию (если код причины недееспособности во всех больничных совпадают, код можно посмотреть в листках нетрудоспособности).  В таком случае, ваш работодатель оплачивает всего 3 дня с момента первого больничного, а с 4 ФСС, работодатель выступает как агент который начисляет и выплачивает всю сумму пособий, но при этом работодателю ФСС возмещает сумму начиная с 4 дня. 

если бы каждый больничный был по разным кодам причины нетрудоспособности, то с каждым вновь открытым больничным работодатель выплачивал 3 дня каждого больничного, а далее ФСС.