Могут ли меня заставить ее проходить бесплатно или за свой счет?

Прохождение диспансеризации —  право, а не обязанность.
Человек может отказаться от каких-либо процедур и обследований в ходе диспансеризации по своему желанию, это не лишит его права на остальные исследования и анализы.  Согласно ст 46 закона 323 ФЗ, в случаях, установленных законодательством Российской Федерации, прохождение и проведение медицинских осмотров, диспансеризации и диспансерного наблюдения являются обязательными для государственных и муниципальных служащих, военнослужащих, педагогов, работников по добыче угля, а также обязательная диспансеризация может регламентироваться локальными правовыми актами. Однако уволить из-за этого не могут.