Как нам поступить в этой ситуации?

Проблема в том, что для органов соцзащиты ключевое — адрес подключения, а не фактический новый дом и ваши расходы.
Они считают: газ уже проведён к участку с адресом Мазилина, 9, значит, повторная компенсация по программе не положена.

Но у вас есть шанс отстоять выплату, если грамотно доказать, что речь идёт о новом объекте недвижимости с отдельным подключением.

 
1. Что важно для обоснования
Новый дом зарегистрирован как отдельный объект в ЕГРН (отдельное свидетельство или выписка).
Газопровод к нему — новое подключение, а не «ответвление» от старого дома.
Договор на газификацию заключён именно для нового дома и оплаченный вами.
 
2. Почему соцзащита отказывает
В положении о выплате часто указано, что компенсация даётся один раз на один объект недвижимости/адрес.
Из-за того, что старый и новый дома числились на одном участке и в адресной системе произошли изменения, у них в базе это видится как повторное подключение.
 
3. Как действовать
Подтвердить в Росреестре:

Получите выписки ЕГРН на оба дома — в них будут разные кадастровые номера.
Эти документы покажут, что это два отдельных объекта.
Заказать технический паспорт/поэтажный план на новый дом в БТИ — для подтверждения, что это отдельное строение.
Письменно обратиться в соцзащиту:

Приложите копии договоров, актов подключения, чеки.
Укажите, что газ проведён к новому объекту, имеющему отдельный кадастровый номер, а старый дом имеет иной адрес (Мазилина, 9а).
Попросите письменный отказ с указанием правового основания.
Если откажут письменно:

Обжалуйте в региональное министерство соцзащиты или в прокуратуру (ссылаясь на то, что программа направлена на компенсацию фактических расходов, а они подтверждены документально).
В крайнем случае — подавайте в суд. Судебная практика по таким случаям есть, и решения часто в пользу заявителя, если новый дом действительно отдельный объект.