Имеют ли право требовать эту переплату с меня?

Очень хороший и важный вопрос Давайте разберёмся.

 
1. Общие правила
По Трудовому кодексу РФ (ст. 137–138 ТК РФ) работодатель вправе удерживать из зарплаты только определённые суммы и только в установленных случаях.
Ошибки бухгалтера (неправильный расчёт отпускных, зарплаты и т. п.) относятся к счётной ошибке, но:

Удержать можно не позднее 1 месяца с момента переплаты (ст. 137 ТК РФ).
По истечении этого срока взыскать переплату можно только через суд.
 
2. Сроки давности
Общий срок исковой давности — 3 года (ст. 196 ГК РФ).
Требование о переплате 30-летней давности заведомо невозможно взыскать ни через бухгалтерию, ни через суд.
Даже если переплата действительно была, доказать это спустя 30 лет работодатель не сможет.
 
3. Когда удержание всё же возможно
Исключения, когда работодатель может удерживать без согласия:

аванс, выданный в счёт зарплаты;
неотработанные отпускные за дни, «взятые авансом»;
ошибки расчёта, выявленные в течение месяца.
Ни одно из этих оснований к вашей ситуации не подходит, так как речь идёт о «переплате» 30-летней давности.

 
4. Ваши действия
Ничего не подписывайте о согласии вернуть деньги.
Если бухгалтерия будет удерживать из расчёта при увольнении — это незаконно. Пишите жалобу в трудовую инспекцию и прокуратуру.
Можете письменно попросить работодателя указать:

на каком основании возник долг,
копии документов о переплате,
почему взыскивают только сейчас.
Скорее всего, после такого требования вопрос закроется.

 
Вывод: требование вернуть 18 тыс. рублей через 30 лет — незаконно. Работодатель не имеет права удерживать или взыскивать эту сумму.

Хотите, я подготовлю для вас шаблон ответа работодателю, чтобы сразу пресечь эти попытки?