Сможет ли мать умершего взыскать накопления на его банковской карте, которой я пользовалась?

Дело в том, что раз Вы не состояли в зарегистрированном браке, то Вы не являетесь наследником и не вправе вообще претендовать на денежные средства,  хранившиеся на счете наследодателя  Эти денежные средства принадлежат наследникам, а не Вам. Доказать, что это Ваши деньги, у Вас не получится, т.к. они хранились на счете наследодателя и считаются принадлежавшими ему лично.

Я туда переводила все пособия и деньги которые получалось сэкономить.

Даже если Вы переводили свои доходы и накопления на его счет, то фактически дарили денежные средства наследодателю и не вправе были снимать их с его счета, тем более, после его смерти.

 даже если он Вам доверял и поручал снимать денежные средства, то все поручения и доверенности прекращают своё действия в момент смерти этого лица.

 Поэтому с чисто юридической точки зрения Вы  совершили кражу денежных средств со счета наследодателя.

Мы покупали моему сыну от первого брака в подарок мопед. Требует вернуть и его. Но мопед малокубовый и регистрации не подлежит. На него только паспорт есть (принцип как у велосипеда).

 Если у Вас есть доказательства того, что мопед был подарен Вашему ребенку, то мопед можете не возвращать. Если наследники обратятся в суд, то будете представлять доказательства того, что мопед — это подарок.

По ее логике, ни на выплаты, ни машину я не могу претендовать, но кредит я должна закрыть.

 Логика не имеет под собой никаких правовых основ.

 Да, если брак не был зарегистрирован, то вы не вправе претендовать на выплаты и на наследственное имущество, если нет завещания в Вашу пользу, но и кредиты — не Ваша забота.

 Согласно ст. 1175 Гражданского Кодекса РФ:

1. Наследники, принявшие наследство, отвечают по долгам наследодателя солидарно (статья 323). 
Каждый из наследников отвечает по долгам наследодателя в пределах стоимости перешедшего к нему наследственного имущества.

Вы — не наследник, поэтому никакой ответственности по долгам наследодателя Вы не несёте.

Ситуация в том что сейчас требует вернуть все, вплоть до сим карты.

Мы покупали моему сыну от первого брака в подарок мопед. Требует вернуть и его. Но мопед малокубовый и регистрации не подлежит. На него только паспорт есть (принцип как у велосипеда).

Обязательств по возврату мопеда у Вас не возникает. 

Так, согласно ст. 574 ГК РФ 

 Дарение, сопровождаемое передачей дара одаряемому, может быть совершено устно, за исключением случаев, предусмотренных пунктами 2 и 3 настоящей статьи.

Машину я соответственно тоже не могу за собой сохранить, он ее приобрел до меня. Соответственно все отходит матери. Да и бог с этим всем. Я на это все не претендую.

Она на него зарегистрирована, кто собственник? 

Если она в его собственности, то да, входит в состав наследства после его смерти, и прав у Вас на нее нет, Вы не являетесь наследником первой очереди, согласно ст. 1142 ГК РФ.  поскольку в зарегистрированном браке не состояли. 

По поводу денежных средств, те денежные средства, которые Вы вывели спустя 2 дня после гибели гражданского мужа, могут быть предметом спора, может быть со стороны наследника /наследников заявлено требование о включении указанной суммы в состав наследства после смерти наследодателя. 

В связи с изложенным, мать, как наследник первой очереди, может обратиться с указанным исковым заявлением в суд. 

С учетом изложенного, Вам лучше в добровольном порядке вернуть денежные средства которые  принадлежали наследодателю и были Вами сняты после его смерти. 

Пример решения по схожему делу

Определение Четвертого кассационного суда общей юрисдикции от 20.09.2023 по делу N 88-23268/2023

Разрешая первоначально заявленные исковые требования, суд первой инстанции, руководствуясь положениями ст. ст. 218, 1102, 1112, 1142 Гражданского кодекса Российской Федерации, пришел к выводу, что Б.Р. приобрела имущество в виде денежной суммы — 102 950 руб., снятых со счетов ФИО5 в период с 19 по 22 июня 2021 г., не имея на то оснований, поскольку она не являлась наследником умершей, в связи с чем, взыскал с Б.Р. в пользу С. сумму в размере 51 475 руб., что соответствует? доли наследственного имущества, с учетом вступления в наследство двух наследников — С. и С.

Судом первой инстанции были удовлетворены требования о включении в наследственную массу денежных средств и требование об их взыскании в пользу наследника 

Машину я соответственно тоже не могу за собой сохранить, он ее приобрел до меня

 то есть он ее вам подарил?

Чем это можно подтвердить?

Кто значится в договоре купли — продажи?

Есть переписка по этому поводу?

Он брал кредит когда уже жили вместе

 если он является стороной кредитного договора то выплачивать его должны принявшие наследство наследники проопорционально своим даля.

По ее логике, ни на выплаты, ни машину я не могу претендовать, но кредит я должна закрыть.

 удобная логика но не верная.

Хотя повторюсь, у нас гражданский брак, при этом я должна все вернуть что он дарил и покупал пока мы жили вместе.

 то, что он вам и  вашему сыну дарил вы не обязаны возвращать.