Могу ли я просто прийти с справкой о здоровье прийти записаться на экзамен?

Нет, вы не можете просто записаться на экзамен. Статус «начато исчисление срока лишения права управления» означает, что официальный отсчет срока лишения так и не начался. Сначала вам необходимо закрыть этот статус и получить в ГИБДД постановление об окончании срока лишения. Только после этого вы сможете начать процедуру возврата прав.

Вам нужно пройти процедуру, как если бы вы только что были лишены прав и пришли сдавать удостоверение.

Шаг 1: Обращение в то подразделение ГИБДД, которое выносило постановление о лишении
Найдите постановление суда. Вам нужно знать номер и дату постановления, а также точное название подразделения ГИБДД, чей инспектор составлял протокол и в чье подразделение вас обязали сдать права. Обычно эта информация указана в самом постановлении суда.
Придите лично в это подразделение ГИБДД (в отделение административной практики или в канцелярию). Возьмите с собой:

Паспорт.
Копию постановления суда о лишении прав (если сохранилась).
Любые имеющиеся у вас документы, связанные с отправкой того заказного письма (например, почтовую квитанцию, если она осталась).
Напишите заявление. Объясните ситуацию: что вы были лишены прав, отправили их заказным письмом, но в базе висит статус о несдаче. Сообщите, что фактически прав на руках у вас нет и вы хотите официально закрыть вопрос о их сдаче, чтобы начать исчисление срока лишения.
Шаг 2: Официальная «сдача» прав
Поскольку прав у вас физически нет, инспектор должен составить Акт о невозможности сдачи водительского удостоверения. Этот документ будет подтверждать, что вы не можете сдать права по уважительной причине (они утеряны/испорчены).

Важный момент: За утерю прав после лишения существует административная ответственность по ч. 2 ст. 12.7 КоАП РФ (управление ТС без прав + вождение в период лишения). Однако, так как с момента лишения прошло более 5 лет, срок привлечения к административной ответственности (3 месяца) давно истек. Штрафовать вас за это не могут.

На основании этого акта инспектор должен внести изменения в базу данных и изменить статус. Фактически, срок лишения будет считаться истекшим, так как прошло более 5 лет.

Шаг 3: Получение справки о завершении срока лишения
После процедуры «сдачи» прав вам должны выдать (или направить по почте) Постановление об окончании срока лишения специального права. Это главный документ, который вам нужен.

Шаг 4: Прохождение медкомиссии и сдача экзаменов
Только после выполнения предыдущих шагов вы можете действовать по стандартной схеме:

Пройдите медкомиссию и получите новую медицинскую справку (форма 003-В/у). Она обязательна, так как ваша предыдущая справка безнадежно устарела.
Оплатите все штрафы ГИБДД. Проверьте, чтобы на сайте Госуслуг или в базе ГИБДД не было неоплаченных штрафов. Это обязательное условие.
Подайте документы в любое удобное подразделение ГИБДД (где оказывается услуга по приему экзаменов) для возврата прав. Вам нужно будет:

Заявление о возврате ВУ (можно подать через Госуслуги).
Паспорт.
Медицинскую справку.
Постановление об окончании срока лишения (которое вы получили на шаге 3).
Квитанцию об оплате госпошлины за выдачу нового водительского удостоверения (2000 руб., со скидкой на Госуслугах — 1400 руб.).
Сдайте теоретический экзамен в ГИБДД. После лишения прав более чем на 1 год сдача теории является обязательной.