Кто будет возмещать убытки, если сосед сверху затопил соседа снизу?

Здравствуйте!

Коротко: кто платит — зависит от того, где именно потекло и что это за элемент системы.

1) Базовое правило ответственности

Стояк, ответвление от стояка до первого отключающего устройства (и само это устройство) — это общее имущество, за него отвечает управляющая организация (УК/ТСЖ/ЖЭУ). Если порвало стояк или первый кран на ответвлении — взыскивать с УК.  
Радиатор (батарея) и подводки после первого крана обычно относятся к ответственности собственника квартиры. При прорыве «тела» радиатора/соединения — чаще платит сосед сверху (если он собственник/наниматель).  

Верховный суд прямо указывал: в состав общего имущества включают обогревающие элементы (радиаторы), только если они обслуживают более одной квартиры (то есть вне квартир — в подъезде, подвале и т.п.). Радиатор внутри квартиры — не общее имущество, и по таким протечкам суды обычно привлекают собственника. 

2) «Кранов на батарее нет» — меняет ли это картину?

Отсутствие кранов не делает квартирный радиатор автоматически «общедомовым». Ключевое — что именно потекло (стояк/ответвление до первого крана или сам радиатор/его узел). Если протечка всё-таки на стояке/до первого крана, отвечает УК. Если на радиаторе/его соединении, обычно отвечает собственник этой квартиры. 

3) Важная оговорка для вашего случая

Вы пишете, что сосед заранее подавал заявки в ЖЭУ о плохом состоянии батареи/трубы, но их не ремонтировали. Это важно:

если авария произошла на участке, за который отвечает УК, её бездействие — прямое основание взыскать с УК (ущерб, экспертиза, моральный вред).  
даже если потёк радиатор (зона собственника), предварительные обращения могут повлечь солидарную/субсидиарную ответственность УК, если будет доказано, что аварии способствовало ненадлежащее содержание системы (давление, гидроудар, сорванные резьбы, истёкший срок службы и т.п.). Такие выводы делает экспертиза; суды это учитывают.  

4) Что делать пострадавшему снизу (и как защититься соседу сверху)

Вызвать УК и составить акт залива с фиксацией точного места протечки (стояк/кран/подводка/радиатор). Фото/видео.

Заказать независимую оценку ущерба.
Направить претензию виновнику:

если потёк стояк/первый кран — в УК,
если радиатор/подводка после первого крана — к соседу сверху,
при споре/неясности — обеим (как со-ответчикам), пусть суд распределит ответственность.  

Соседу сверху — сохранить копии заявок в ЖЭУ о дефектах (даты, входящие номера): они снижают риск его личной ответственности, если авария из зоны УК.

Итог по вашему описанию

Если протекла батарея (тело радиатора/его муфта) — обычно платит сосед сверху (если не докажет вину/бездействие УК).  
Если прорвало трубу-стояк или ответвление до первого крана — платит УК/ЖЭУ.  
Ранние заявки в ЖЭУ усиливают позицию против УК при их бездействии.

с уважением,

Набатова Екатерина