Имеет ли ребенок право, оставаться прописанным в этой квартире

Здравствуйте, Ирина.
Да, регистрация ребёнка сохраняется.

По закону: регистрация по месту жительства не прекращается из-за смерти собственника (ст. 3, 20 ЖК РФ; ст. 31 ЖК РФ — право пользования сохраняется за членами семьи). Несовершеннолетний может быть снят с учёта только с согласия органа опеки и попечительства и при предоставлении другого жилого помещения (ст. 20 ГК РФ, ст. 54 ЖК РФ).

Что сделать: храните свидетельство о смерти отца и свидетельство о рождении ребёнка. Если придёт новый собственник (наследник) и попытается выписать — это возможно только через суд с участием опеки и при доказанном обеспечении ребёнка иным жильём.