Могу ли я в свою очередь подать на них в суд?

Здравствуйте, Виктор

Нет, в описанной ситуации Вы не можете самостоятельно подать иск против банка, так как банк уже получил судебное решение в свою пользу. 
Однако вы имеете право уведомить суд о прекращении периода исковой давности, если банк подаёт иск после его истечения. Для этого нужно подать ходатайство об истечении срока давности взыскания. Тогда судья откажет в исковых требованиях любому подателю иска.
Общий срок исковой давности по кредиту для физических лиц — 3 года (статья 196 Гражданского кодекса РФ). Если с момента последнего платежа или прекращения долговых отношений прошло более трёх лет, долг считается просроченным и подлежит отказу в судебном порядке. 
При этом срок исковой давности может быть продлён, например, в чрезвычайных случаях решением правительства или указом президента. Но даже в таких случаях он не может превышать 10 лет со дня нарушения права, для защиты которого этот срок установлен. 

Разберём вашу ситуацию пошагово

 
1. Что значит «банк перекупил кредит»
Обычно речь идёт не о банке, а о коллекторской организации или другом юрлице, которому долг уступили по договору цессии (ст. 382 ГК РФ).
Сам факт уступки не обнуляет срок исковой давности. Новый кредитор «наследует» права старого, включая то, что срок давности уже мог истечь.
 
2. Как работает срок исковой давности
Общий срок — 3 года (ст. 196 ГК РФ).
Отсчёт ведётся с момента, когда кредитор узнал о нарушении права — обычно это день, когда вы перестали платить по графику.
Если вы делали частичные платежи, признавали долг — срок начинал течь заново (ст. 203 ГК РФ).
Перепродажа долга не обнуляет срок исковой давности.
Если последний платёж был 4 года назад, а после этого вы не признавали долг (ни перепиской, ни распиской, ни частичным переводом) — формально у нового кредитора срок давности уже истёк.

 
3. Почему суд вынес решение не в вашу пользу
Суд применяет срок исковой давности только по вашему заявлению (ст. 199 ГК РФ).
Если в процессе вы не заявили, что срок давности истёк, суд рассматривал дело по существу и удовлетворил иск.
 
4. Что можно сделать сейчас
Если решение ещё не вступило в силу (10 дней на апелляцию) — подавайте жалобу, ссылайтесь на пропуск срока давности.
Если решение уже вступило в силу, остаётся:

Обжаловать в апелляцию (если не пропустили срок),
Если срок прошёл — восстановить его (при уважительных причинах),
Если всё уже окончательно — дальше можно только оспаривать исполнительные действия приставов (например, незаконные удержания).
 
5. Можно ли вам подать в суд на них
Подать — да, но вряд ли это даст результат.
Суд не признает иск о «незаконности долга», если уже есть вступившее в силу решение о взыскании.
Единственный вариант — обжаловать именно то решение суда, где не применили срок давности.
 
Перепродажа долга не обнуляет срок давности.
Последний платёж был 4 года назад следовательно срок давности, скорее всего, истёк.
Но суд учтёт это только если вы заявили вовремя.
Сейчас ключевое — проверить стадию дела и подать апелляцию (или восстановить срок).