Если я являюсь одним из учредителей ООО (10%), но при этом никакого участия не принимаю и прибыли не получаю, могу ли я трудоустроиться на государственную службу?

Ваш вопрос — про конфликт интересов при госслужбе. Давайте разберём по шагам.

 
1. Общий запрет
Согласно Федеральному закону № 79-ФЗ «О государственной гражданской службе РФ»:

Ст. 16, п. 1, подп. «ж» — гражданин не может быть принят на госслужбу, если он участвует в управлении коммерческой организацией, кроме случаев, когда это входит в служебные обязанности (например, представитель государства в советах директоров).
 
2. Что значит «участие в управлении»
Если вы просто числитесь участником ООО (10%), но не являетесь директором, членом совета директоров, не подписываете документы, то формально это не участие в управлении.
Но всё равно остаётся факт владения долей, что в госслужбе может расцениваться как наличие имущественного интереса.
 
3. Что делать для трудоустройства
Долю в ООО нужно отчуждать (продажа, дарение, выход из общества с выплатой действительной стоимости доли).
На это обычно дают короткий срок после назначения (в некоторых ведомствах требуют до трудоустройства).
Если этого не сделать — могут отказать в приёме или впоследствии уволить за несоблюдение ограничений.
 
4. Практика
Даже пассивное владение долей (без дохода) = участие в коммерческой организации.
Госслужащим запрещено быть учредителем/участником, кроме случаев, прямо оговорённых законом (например, владение акциями через ПИФ).
 
Чтобы устроиться на госслужбу (в жилищную инспекцию или другой орган), вам придётся выйти из состава учредителей ООО. Факт того, что вы не получаете прибыль и не участвуете в управлении, значения не имеет — сам факт владения долей несовместим с госслужбой.