Могут ли по этой причине его задержать в части и что нам в этом случае делать?

Ситуация сложная, и для получения точного ответа лучше всего обратиться к ко мне, так как я специализируюсь на военном праве. Тем не менее я могу предложить вам некоторые общие рекомендации:

Изучите нормативные документы:
ознакомьтесь с Уставом внутренней службы Вооружённых Сил Российской Федерации, где прописаны обязанности военнослужащих и порядок решения подобных ситуаций;
проверьте, есть ли в приказах и других документах, регулирующих службу в вашей части, конкретные указания по поводу утраты военной формы.
Обсудите ситуацию с командованием:
ещё раз поговорите с представителями командования и объясните, что у вас уже куплены билеты, а времени на заказ новой формы нет;
попросите указать конкретные нормативные акты, на основании которых они требуют наличия формы.
Рассмотрите возможность обращения в вышестоящие инстанции:
если командование не идёт навстречу, можно обратиться к начальнику вышестоящего штаба или в военную прокуратуру;
в обращении подробно опишите ситуацию, укажите даты, имена и должности лиц, с которыми вы общались.
Свяжитесь с юристом или правозащитной организацией:
получите консультацию у юриста, который специализируется на военном законодательстве;
правозащитные организации также могут помочь разобраться в ситуации и защитить права вашего сына.
Подготовьте все необходимые документы:
имейте под рукой документы, подтверждающие личность вашего сына, его службу и другие релевантные бумаги;
сохраняйте переписку и записи разговоров с представителями командования.
Что касается возможности задержания в части:

задержание без законных оснований может быть нарушением прав военнослужащего;
однако окончательное решение зависит от позиции командования и толкования действующих нормативных актов.
Помните, что каждый случай индивидуален, и общие рекомендации не могут заменить профессиональной юридической помощи.