И даётся ли ей ещё пол года на принятие решения?

Мать не может просто «отказаться» от ребёнка, как от вещи. Но она может:

 
Добровольно дать согласие на усыновление/удочерение (например, отцом или другим лицом),
Не забирать ребёнка из роддома (тогда ребёнка передают органам опеки),
Подать заявление в органы опеки о передаче ребёнка на воспитание отцу,
Быть лишённой родительских прав (по инициативе отца или органов опеки).
 
 
 
Если мать хочет «отказаться», а отец — оставить ребёнка у себя:
 
Отец обращается в органы опеки и попечительства по месту жительства с заявлением:

«Прошу передать мне на воспитание моего ребёнка [ФИО, дата рождения], поскольку мать добровольно отказывается от исполнения родительских обязанностей».
Мать пишет добровольное заявление в органы опеки:

«Я, [ФИО], мать ребёнка [ФИО], добровольно передаю право воспитания ребёнка его отцу — [ФИО отца], с которым состою (или не состою) в браке. От исполнения родительских обязанностей отказываюсь».
Органы опеки проверяют условия проживания у отца (жильё, доход, отсутствие судимостей и т.п.).
Если всё в порядке — ребёнка передают отцу, и он становится фактическим и юридическим воспитателем.
 
В этом случае лишение родительских прав матери не требуется, если она добровольно уходит из жизни ребёнка, а отец берёт на себя все обязанности.
 
 
 
Даётся ли матери «полгода на раздумье»?
Да — но только в одном случае: если ребёнок ещё не передан на воспитание отцу и находится под надзором органов опеки (например, после отказа в роддоме).

 
Согласно ст. 129 СК РФ и Постановлению Пленума ВС РФ №44:

Если мать не забрала ребёнка из медицинского учреждения (роддома),
и в течение 6 месяцев не проявляет к нему родительского интереса,
органы опеки могут инициировать лишение её родительских прав.
 
То есть 6 месяцев — это срок для раздумья только при отказе в роддоме.
Если ребёнок уже живёт с отцом, и мать добровольно отказывается, — никакой «отсрочки» не предусмотрено.
 
 
 
️ Важные нюансы:
Даже если мать «отказывается», она остаётся родителем до тех пор, пока: не будет лишена родительских прав,
или не даст согласие на усыновление (например, если отец женится, и новая жена захочет усыновить ребёнка).
Алименты с не лишённой прав матери взыскиваются автоматически, если отец подаст на них.
Если мать просто «не участвует в жизни», но не пишет отказ — отец может подать в суд на лишение родительских прав (ст. 69 СК РФ).
 
 
 
Что делать отцу прямо сейчас:
Обратиться в органы опеки с заявлением о передаче ребёнка на своё воспитание.
Попросить мать написать заявление о добровольном отказе от исполнения обязанностей (не «отказ от ребёнка», а именно передача воспитания отцу).
Оформить регистрацию ребёнка по своему месту жительства.
При необходимости — подать на алименты, чтобы зафиксировать обязанность матери.
 
 
 
Вывод:
«Полгода на раздумье» есть только при отказе в роддоме.
Если отец готов воспитывать ребёнка — мать может добровольно передать права отцу через органы опеки без суда.
Формального «отказа от ребёнка» в законе нет — есть передача воспитания или лишение родительских прав.