Здравствуйте, мне по наследству осталось доля в двухкомнатной квартире, по этой части есть задолженность

Можно ли «просто отдать» долю государству, чтобы уйти от долгов? — Нет: даже при отказе от права собственности по ст. 236 ГК РФ ваши обязанности по содержанию доли (включая ЖКУ) сохраняются до тех пор, пока право не перейдёт другому лицу, а государство/муниципалитет принимать долю не обязаны. 
Что реально: передача возможна только при согласии муниципалитета (например, на дарение) либо через процедуру «бесхозяйной вещи», которую инициирует сама администрация; до фактического перехода права долги продолжают копиться. 
Если с момента открытия наследства не прошло 6 месяцев, можно отказаться от наследства у нотариуса (в том числе уже принятого) — тогда доля и сопутствующие долги уйдут; по истечении срока этот путь закрыт. 
Из рабочих альтернатив — добиться в суде прекращения вашего права на «незначительную» долю с выплатой вам компенсации другими собственниками по п. 4 ст. 252 ГК РФ (редкая, но применяемая судами опция). 

Чтобы точно рассчитать шансы, подскажите: 1) когда открыто наследство и оформляли ли вы уже право собственности; 2) размер вашей доли; 3) из чего состоит задолженность (ЖКУ, капремонт, пени) и её сумма; 4) проживает ли кто-то в квартире и кто зарегистрирован. Готов разобрать вашу ситуацию подробнее в личном чате; консультация платная.