Здравствуйте данный вопрос регулируется ст. 59 Семейного кодекса
Статья 59. Изменение имени и фамилии ребенка
1. По совместной просьбе родителей до достижения ребенком
возраста четырнадцати лет орган опеки и попечительства исходя из
интересов ребенка вправе разрешить изменить имя ребенку, а также
изменить присвоенную ему фамилию на фамилию другого родителя.
2. Если родители проживают раздельно и родитель, с которым проживает
ребенок, желает присвоить ему свою фамилию, орган опеки и попечительства
разрешает этот вопрос в зависимости от интересов ребенка и с учетом
мнения другого родителя. Учет мнения родителя не обязателен при
невозможности установления его места нахождения, лишении его
родительских прав, признании недееспособным, а также в случаях уклонения
родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка.
3. Если ребенок рожден от лиц, не состоящих в браке между собой, и
отцовство в законном порядке не установлено, орган опеки и
попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить его
фамилию на фамилию матери, которую она носит в момент обращения с такой
просьбой.
4. Изменение имени и (или) фамилии ребенка, достигшего возраста десяти лет, может быть произведено только с его согласия.
Таким образом если отец ребенка не против, то необходимо сначала обратиться в органы опеки и попечительства с заявлением, если органы опеки разрешат перемену фамилии ребенку то уже тогда в ЗАГС
Так же приведу дополнительную норму права содержащуюся в п. 4 ст. 58 Федерального закона «об актах гражданского состояния»
Перемена имени лицу, не достигшему возраста четырнадцати лет, а также изменение присвоенной ему фамилии на фамилию другого родителя производится на основании решения органа опеки и попечительства в порядке, установленном статьей 59 Семейного кодекса Российской Федерации.(п. 4 в ред. Федерального закона
Вот в принципе все что Вам нужно знать для успешного решения Вашей проблемы.