Какие именно инстанции нужно ставить в известность о смене места моей прописки?

Влад, добрый день.

Вопрос: При выписке из квартиры мой авто автоматически снимется с учета ГИБДД ?

 Нет.

При изменении Вами адреса места жительства прекращение регистрации Вашего автомобиля не производится.

Обязанность по внесению изменений в регистрационные данные транспортного средства при смене места жительства определена на основании п. 7, 8, 51 постановления Правительства РФ  от 21.12.2019 N 1764
«О государственной регистрации транспортных средств в регистрационных подразделениях Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации»

Реализация данной обязанности осуществляется в заявительном порядке.

При внесение изменений, согласно приказа МВД России от 21.12.2019 N 950 проводятся мероприятия по:

61.1.Прием заявления и иных документов, необходимых для предоставления государственной услуги.

61.6. Оформление и подписание документов, подлежащих выдаче заявителю, присвоение государственных регистрационных номеров.
61.7. Внесение информации в автоматизированные информационные системы.
61.8. Выдача документов и государственных регистрационных знаков.

Само транспортное средствопри этом остается на учете и учет его не прекращается.

Основания для прекращения регистрации транспортного средства оговорены в ст. 18 ФЗ  от 03.08.2018 N 283-ФЗ
«О государственной регистрации транспортных средств в Российской Федерации и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации»и перемена места жительства к числу таких оснований не относится.

Какой срок у меня есть для регистрации или прописки по новому адресу, что бы ГИБДД не сняло мой авто с учета ?

 При изменении места жительства Вы должны зарегистрироваться по новому адресу в течении 7 дней.

Гражданин, изменивший место жительства, обязан не позднее семи дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться с заявлением о регистрации по новому месту жительства (ч. 1 ст. 6 Закона РФ от 25.06.1993 N 5242-1«О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации» ).

После этого Вы самостоятельно в течении 10 дней обязаны подать заявление в ГИБДД о внесении изменений в регистрационные данные транспортного средства.

В силу постановления Правительства РФ от 21 декабря 2019 г. N 1764 «О государственной регистрации транспортных средств в регистрационных подразделениях Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации»

Заявление о совершении регистрационных действий и прилагаемые к нему документы подаются владельцем транспортного средства или его представителем лично в регистрационное подразделениев 10-дневный срок со дня выпуска в обращение транспортного средства при изготовлении его для собственного пользования, со дня временного ввоза транспортного средства на территорию Российской Федерации на срок более одного года либо со дня приобретения прав владельца транспортного средства или возникновения иных обстоятельств, требующих изменения регистрационных данных.

Подскажите… если я приду в МФЦ и выпишусь с квартиры своей Матери в Москве и тут же пропишусь одним днем к своему брату в Подмосковье, то мой авто не придётся перерегистрировать и получать новые номера ?

 Да.

При переезде в другой регион и регистрации там по месту жительства, Вы дополнительно получаете на транспортное средство новые номерные знаки.

Ставить нужно в известность ГИБДД каким образом о смене моего места прописки или новые сведения поступят везде автоматически ?

 Вы самостоятельно обязаны обратиться с заявлением о внесении изменении в регистрационные данные в отношении транспортного средства.

Автоматически они не производятся.

Здравствуйте, Влад!

При выписке из квартиры мой авто автоматически снимется с учета ГИБДД ?

Нет.

При выписке Вас  снимут   с регистрационного учета по месту жительства, но не  ТС 

Какой срок у меня есть для регистрации или прописки по новому адресу, что бы ГИБДД не сняло мой авто с учета ? 

Заявление о совершении регистрационных действий  подаются владельцем ТС  в ГИБДД  в 10-дневный со дня регистрации по новому адресу места жительства 

выпишусь с квартиры своей Матери в Москве и тут же пропишусь одним днем к своему брату в Подмосковье, то мой авто не придётся перерегистрировать и получать новые номера ? 

Это не так. 

Владелец транспортного средства обязан:

4) обратиться с заявлением в регистрационное подразделение для совершения иных регистрационных действий в случаях, установленных настоящим Федеральным законом;

ст.8  Закона №283-ФЗ

 К регистрационным действиям относятся внесение изменений в регистрационные данные транспортного средства — изменение содержания или состава регистрационных данных транспортного средства

В частности   к регистрационным данным транспортного средства, в том числе   относятся:

б) место жительства физического лица или индивидуального предпринимателя либо место нахождения юридического лица;
ст.11 Закона №283-ФЗ

Поэтому для внесения изменений о месте жительства в регистрационные данные ТС Вы обязаны обратиться в ГИДД с заявлением. 

Госномера в Вашем случае сохранить не получится из-за несовпадения цифровых  кодов регионов.