Чтобы стать заново на учёт, нужно ли сначала ехать в Чехов для снятия с учёта либо это будет автоматически при постановке на учёт по новому месту пребывания?

Дарья!

Я бы рекомендовал обратиться и в военкомат по старому месту жительства, учитывая положения статьи 10 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» №53-ФЗ от 28.03.98, в которой указана и такая обязанность граждан:

сообщить в письменной или электронной форме через Портал государственных и муниципальных услуг (функций) в военный комиссариат либо в местную администрацию соответствующего поселения, муниципального или городского округа, осуществляющую первичный воинский учет, об изменении семейного положения, образования, места работы (учебы) или должности, сведения о переезде на новое место пребывания, не подтвержденные регистрацией, либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию либо явиться в военный комиссариат в двухнедельный срок со дня наступления указанных событий (при отсутствии уведомления от военного комиссариата об изменении сведений в автоматизированном режиме с учетом требований статьи 8.1 настоящего Федерального закона);

Если Вам необходима дополнительная консультация либо помощь в составлении письменных документов, можете обратиться в мой чат, по правилам сайта услуги в чате платные.
Всего доброго!