Сергей, добрый вечер.
Однозначно не обязан.
В вашем случае арендатор имеет постоянную регистрацию в Московской области, а арендует жилье в Москве, на основании части второй статьи 5 Закона РФ от 25.06.1993 N 5242-1, он не обязан регистрироваться по месту пребывания в арендуемом жилье, даже если срок проживания превышает 90 дней.
И не смотря на то, что согласно Закону РФ от 25.06.1993 N 5242-1 «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации» и Постановлению Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации», гражданин РФ обязан зарегистрироваться по месту пребывания, если он находится в данном месте более 90 дней, однако, существует исключение: гражданин Российской Федерации вправе не регистрироваться по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области, если он зарегистрирован по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области.