Или это нужно подавать в гражданском судопроизводстве?

Здравствуйте, Анастасия.

В рамках договора подряда по 223-ФЗ вы можете взыскать несколько штрафов за разные нарушения, а также потребовать возмещение ущерба в рамках того же арбитражного процесса, если это предусмотрено вашим договором и соответствует законодательству. 
 
Взыскание нескольких штрафов
За разные нарушения: Судебная практика подтверждает возможность взыскания нескольких штрафов, если они начисляются за разные и независимые друг от друга нарушения обязательств. Ваш договор предусматривает штраф за «ненадлежащее исполнение обязательств подрядчиком за исключением просрочки». Это означает, что если у вас были, например, нарушения качества работ, использования некачественных материалов, нарушения техники безопасности и т.п. (и все это квалифицируется как отдельные факты ненадлежащего исполнения, отличные от просрочки), то за каждый такой факт можно попытаться взыскать отдельный штраф (0,5% от суммы договора), если это позволяют формулировки договора.
За одно нарушение: Не допускается двойное наказание (штраф и пени) за одно и то же нарушение (например, за одну и ту же просрочку). Однако ваш договор уже разделил ответственность: неустойка (пени) за просрочку, и отдельный штраф за другие виды ненадлежащего исполнения.
Соразмерность: Суд может снизить размер штрафа, если сочтет его чрезмерным или несоразмерным последствиям нарушения (статья 333 ГК РФ), особенно если сумма штрафа (0,5% от всей суммы договора) за каждое незначительное нарушение окажется слишком большой. 
 
Возмещение ущерба за повреждение имущества
Отдельное требование: Требование о возмещении реального ущерба (например, за повреждение имущества заказчика) не является штрафом или неустойкой. Это самостоятельный вид гражданско-правовой ответственности (статья 15 ГК РФ).
Возмещение сверх штрафа: Вы имеете право требовать возмещения причиненного ущерба сверх предусмотренного договором штрафа (если в договоре не указано иное, например, что штраф является зачетным и покрывает все убытки). По общему правилу, убытки возмещаются в полном объеме, если законом или договором не предусмотрено иное.
Подсудность: Все споры, возникающие из договора подряда по 223-ФЗ (в том числе взыскание штрафов и возмещение ущерба), рассматриваются в арбитражном суде, а не в суде общей юрисдикции (гражданском судопроизводстве в обычном понимании, если обе стороны — юридические лица или ИП). 

Если вам была полезна моя консультация — можете меня отблагодарить символичной суммой в профиле (ссылка на профиль pravoved.ru/lawyer/4299018/). Это мотивирует юристов отвечать на бесплатные вопросы. 

Кроме того, если вам нужно составление правового документа или дополнительная подробная консультация по вопросам — напишите мне лично в чат. С уважением, юрист Абдулкадиров Расул Русланович!

Да, возможно, но с оговорками.

Если договором подряда предусмотрен штраф за ненадлежащее исполнение обязательств (кроме просрочки), он может быть взыскан за каждое самостоятельное нарушение, при условии, что такие нарушения различны по своему характеру и не образуют одно и то же правонарушение. Взыскание нескольких штрафов за одно и то же нарушение недопустимо.

Повреждение имущества заказчика относится к убыткам. Убытки подлежат взысканию независимо от неустойки и могут быть заявлены одновременно со штрафом, если договор не содержит ограничения ответственности. Основание — статья 394 ГК РФ.

Споры, вытекающие из договора подряда, заключённого в рамках Закона № 223-ФЗ, рассматриваются в арбитражном суде, если сторонами являются юридические лица или индивидуальные предприниматели. В гражданском судопроизводстве такие споры не рассматриваются.

При этом следует учитывать право суда снизить размер неустойки при её явной несоразмерности последствиям нарушения (ст. 333 ГК РФ).

Нормативная база: ст. 333, 394 ГК РФ; арбитражная практика по договорам в сфере 223-ФЗ.