По истечению месяца полного отработанного в этой организации могут ли приставы взыскать задолженность?

Да, приставы вправе взыскать задолженность, даже если должник отработал в организации всего 10 дней.

Взыскание производится с фактически начисленного дохода за отработанное время, независимо от того, отработан ли месяц полностью (ст. 98, 99 ФЗ № 229-ФЗ «Об исполнительном производстве»).

Что важно:

удержание производится при выплате заработной платы (аванс, окончательный расчёт);
если доход небольшой, удержание будет в пределах установленных ограничений (как правило, не более 50%, в отдельных случаях — до 70%);
если зарплата ещё не выплачена, приставы ждут выплаты, но ИП не прекращается.
Если официального дохода недостаточно, приставы вправе:

продолжать взыскание при дальнейшем трудоустройстве;
применять иные меры (обращение взыскания на счета, имущество и т.п.).
Итог:
Факт того, что месяц отработан не полностью, не препятствует взысканию — удержание производится с любого официального дохода при его выплате.