А продление больничного листа в частной клинике( с лицензий) по гарантийному письму на прием будет платной?

Краткий прямой ответ по ситуации в России: если вы продлеваете больничный лист в частной клинике с лицензией, то за сам факт продления придется оплатить приём врача, потому что услуги в частной клинике платные по основному прайсу.  

Вот как это работает на практике:

Частная клиника с лицензией может оформлять и продлевать больничные — это законно, если у неё есть лицензия на медицинскую деятельность.  
Приём врача в частной клинике обычно платный. Это означает, что вы оплачиваете консультацию и осмотр для оформления/продления больничного по стандартному прайсу этого медцентра.  
Продление больничного проходит именно на приёме врача (как правило). Это обычно платно, потому что это та же медицинская услуга, что и первичный приём.  
Если больничный оформлен в рамках ОМС (государственная медицина) — он бесплатный для пациента, и продление тоже бесплатно по полису, если врач участвует в госгарантиях. Но вы говорите про частную клинику, и в ней нет бесплатной части по госгарантиям, поэтому платите.  
Что означает «по гарантийному письму на приём»?

Если гарантийное письмо предоставляет оплату консультации (например, работодатель покрыл эту услугу заранее) — то вы не платите сами, но за услугу всё равно оплачивается через гарантийное письмо.
Если гарантийное письмо не покрывает приём — вы платите сами.
Важное практическое замечание: даже в частной клинике продление больничного может потребовать повторного осмотра врача, потому что закон требует оценки состояния пациента, а не просто формального продления.