Анна, здравствуйте!
Отец единоличный собственник квартиры и ничьих долей больше в этой квартире нет, так что и выделять нечего.
Папа может Вам подарить как долю в квартире, так и всю квартиру целиком. Но, сами понимаете это по его желанию.
Дарение между близкими родственниками не облагается налогом, так что расходы будут только на оформление договора и регистрацию права собственности в Росреестре.
Если он подарит Вам только долю в квартире — прописать он конечно без Вашего согласия никого не сможет, кроме своих же несовершеннолетних детей, а вот продать или подарить оставшуюся долю сможет кому угодно. А, даже если и оставит долю себе, то новая жена будет претендовать на его долю в качестве наследника наравне с Вами. Составление завещания конечно избавит Вас от такой конкурентки по наследству, но только если она к этому моменту не будет на пенсии или с инвалидностью, так как в этом случае независимо от завещания у нее будет право на обязательную долю в наследстве по основаниям ст. 1149 ГК РФ.
Резюмируя: чтобы квартира осталась только Вам отец может заключить с Вами либо довор дарения, либо договор ренты. В договоре дарения можно указать право дарителя на проживание в квартире.