Во время работы совершила проф ошибки с клиентами, владелец салона со своих средств возместил убытки за ошибки

Это очень сложная ситуация. Давайте разберем ее по шагам.

Краткий ответ: Нет, вы не обязаны компенсировать эти убытки владельцу салона. Его требование незаконно. Более того, его действия (неофициальный наем и удержание средств при увольнении) являются серьезными нарушениями.

Почему требование владельца салона незаконно?
Отсутствие официального трудоустройства — ключевой фактор. Нет трудового договора → нет трудовых отношений в правовом поле. Согласно Трудовому кодексу РФ, все взаимоотношения, включая материальную ответственность, возникают только после заключения трудового договора.
Материальная ответственность работника. Даже если бы вы работали официально:

Полная материальная ответственность (когда работник возмещает весь прямой ущерб) наступает только в строго определенных случаях и должна быть оформлена отдельным письменным договором… Для мастера в салоне красоты такая ответственность возможна, например, при работе с депозитами клиентов или дорогостоящей техникой, но и то — только по договору. За обычную «профошибку» в оказании услуги (неудачный маникюр, окрашивание и т.д.) полная материальная ответственность не применяется.
Ограниченная материальная ответственность. ограничена средним месячным заработком работника. И то, для ее взыскания работодатель должен провести целую процедуру: издать приказ, дать вам возможность добровольно возместить ущерб, и только потом может обратиться в суд. При неофициальной работе «средний заработок» не может быть рассчитан.
Важное условие: С работника можно взыскать ущерб только при наличии его вины… Даже в этом случае, если вы работали по его указанию и с его материалами, риски несет именно он как владелец бизнеса.
Работодатель уже возместил ущерб клиентам. Это был его выбор и его обязанность как лица, оказывающего услуги. Он не может потом переложить эту финансовую нагрузку на вас в одностороннем порядке, тем более устно или путем угроз. Это все равно что заставить поставщика продуктов платить за испорченное блюдо в ресторане, которое уже вернули клиенту.
Что делать? Пошаговый план действий
Главное правило: Ничего не подписывайте и не соглашайтесь на какие-либо «добровольные» выплаты или расписки.

Зафиксируйте факт требований. Если требование высказано устно, постарайтесь получить его в письменном виде (например, в мессенджере или по электронной почте). Скажите что-то вроде: «Я хочу правильно понять сумму и основание, напишите, пожалуйста, на что именно я должна компенсировать и в каком размере». Это будет доказательством шантажа.
Соберите доказательства работы в салоне. Это ваша страховка. Сохраните:

Переписки с владельцем, администратором о графике, задачах, зарплате.
Чеки или выписки о переводе зарплаты (даже на карту).
Фото/видео с рабочего места.
Свидетельские показания коллег (если они согласятся).
Записи разговоров (если вы находитесь в регионе, где это допускается как доказательство без согласия второй стороны – ст. 77 ГПК РФ, обычно это возможно, если разговор касается вас лично).
Дайте четкий письменный отказ. Когда соберете доказательства, направьте владельцу ответ (лучше в мессенджер с сохранением или заказным письмом):

«Я, [Ваше ФИО], официально отказываюсь компенсировать убытки, связанные с оказанием услуг клиентам салона [Название], в связи с отсутствием законных оснований. Наши трудовые отношения не были оформлены надлежащим образом, что является нарушением трудового законодательства с вашей стороны. Прошу в течение [укажите срок, например, 3 дня] произвести полный расчет причитающейся мне заработной платы за все отработанное время. В противном случае я буду вынуждена обратиться с жалобами в контролирующие органы для защиты своих прав.»
Если вам угрожают или не отдают зарплату – обращайтесь в государственные органы:

Трудовая инспекция (Роструд). Подайте жалобу онлайн через сайт Онлайнинспекция.рф. Они проведут проверку по факту неофициального найма, невыплаты зарплаты и незаконных требований. Штрафы для работодателя будут существенными.
Прокуратура. Можно подать заявление о нарушении трудовых прав.
Налоговая служба (ФНС). Сообщите о факте работы без оформления и, следовательно, об уклонении от уплаты налогов и страховых взносов. Для владельца бизнеса это грозит огромными штрафами и доначислениями.
Суд. Если речь идет о значительной сумме невыплаченной зарплаты, можно подать иск в суд. Ваши собранные доказательства станут основой иска.
Риски для владельца салона
Он прекрасно понимает свою уязвимость. Его угрозы — это попытка запугать. На кону для него:

Штрафы за неоформление сотрудника.
Штрафы и пени от ФНС за неуплату налогов.
Проверки и репутационные потери.
Вывод: Вы находитесь в более сильной правовой позиции, чем кажется. Не поддавайтесь на шантаж. Спокойно и четко дайте понять, что знаете свои права и готовы защищать их через проверяющие органы. Скорее всего, после этого от вас просто отстанут и рассчитаются по зарплате, чтобы избежать больших проблем.