Добрый день, Дарья.
Юридически вы не можете «запретить» склонять свою фамилию, если она склоняется по правилам русского языка. Ссылаться на то, что «никогда не склоняли», бесполезно — это семейная традиция, а не норма права.
Однако работодатель обязан указывать вашу фамилию в документах строго в той форме, которая написана в вашем паспорте. Если в паспорте фамилия стоит в именительном падеже, то и в шапке трудового договора, в приказе о приеме и в вашей личной карточке должна быть именно эта форма.
Проблема в том, что внутри текста документа (например, «Приказ выдать ...») по правилам делопроизводства фамилию часто склоняют. И это формально не является ошибкой, если она совпадает с паспортной в именительном падеже в реквизитах.
Полагаю, что со мной согласятся лингвисты: женские фамилии на -а, -я не склоняются, если ударение не падает на последний слог. То есть: нет Дарьи Лашутка, дать Дарье Лашутка.
Обратитесь к руководителю или в отдел кадров с заявлением: «Прошу во всех кадровых документах, включая трудовой договор, указывать мою фамилию строго в соответствии с паспортом — Лашутка (в именительном падеже), не склоняя её, так как это моя семейная традиция и паспортная форма».
С уважением к Вам, адвокат Ветлужская Н.Ю.