Здравствуйте! В вашей ситуации ключевое значение имеет не форма собственности вуза, а соблюдение условий для сохранения отсрочки при переводе.
Если сын переводится из одного вуза в другой, при этом новый вуз имеет государственную аккредитацию и он продолжает обучение по очной форме, право на отсрочку в целом может сохраниться. То, что принимающий вуз частный, само по себе значения не имеет — важно именно наличие аккредитации.
Однако есть важный момент: при переводе не должно происходить увеличения общего срока обучения более чем на один год по сравнению с первоначальной образовательной программой. В вашем случае он уходит со специалитета (5 лет 11 месяцев) на бакалавриат (4 года) и поступает фактически на 1 курс. Формально срок обучения уменьшается, но для военкомата это может быть расценено как начало обучения заново, а не продолжение прежней программы.
Именно из-за перевода на 1 курс часто возникают споры: военкоматы нередко считают, что студент утрачивает право на отсрочку, поскольку не продолжает обучение в рамках той же ступени, а получает образование другого уровня (специалитет → бакалавриат) и фактически заново начинает обучение.
На практике отсрочку удаётся сохранить, если перевод оформлен именно как «перевод», а не как новое поступление, и есть приказ о переводе с сохранением статуса обучающегося. Если же это оформляется как отчисление и новое зачисление на 1 курс — риск потери отсрочки высокий.
Рекомендую уточнить, как именно оформляет принимающий вуз — переводом или новым поступлением, и запросить справку о переводе. Также желательно заранее проконсультироваться в военкомате или получить письменное разъяснение, чтобы избежать неприятной ситуации.
С наилучшими пожеланиями, Юрий Михайлович!