Как может быть отказ по причине "не пройден статус единственного родителя"?

Здравствуйте.

Отказ по формулировке «не пройден статус единственного родителя» в вашей ситуации как раз логичен: после установления отцовства вы не являетесь единственным родителем в понимании правил назначения единого пособия, поэтому система не может применить к вам этот статус.

Что значит «единственный родитель» для единого пособия
Единственным родителем для целей единого пособия считается только когда второй родитель ребенка:

не указан в свидетельстве о рождении;
записан со слов матери и отцовство официально не установлено;
умер;
признан судом безвестно отсутствующим или умершим.
Если отцовство установлено (есть запись об отце, справка об установлении отцовства), мама уже не может считаться единственным родителем, даже если брак не заключался, вы не живете вместе, отец не помогает и не платит алименты.

Почему тогда пишут именно так в отказе
При назначении единого пособия статус «единственный родитель» используют как обоснование отсутствия дохода (тогда допускается нулевой доход у заявителя).
Если вы указали, что вы единственный родитель (или система автоматически попыталась применить этот статус, потому что у вас нет дохода), СФР проверяет сведения в ЗАГС: видит установленное отцовство и отказывает именно по причине «статус единственного родителя не подтвержден» («не пройден»).
Это не значит, что вам вообще не положено единое пособие, это значит: вам нужны другие основания (по доходам семьи, имуществу и т. д.), а не льгота «единственный родитель».
Что вам делать дальше
Проверить условия именно для обычной семьи, а не для единственного родителя:

основной критерий — среднедушевой доход семьи ниже регионального прожиточного минимума, плюс имущественные критерии (недвижимость, машины и т. д.).
доходы учитываются по вам и по ребенку, а доход отца — только если он с вами зарегистрирован/проживает (и в зависимости от конкретных правил, уточняйте в СФР).
Подать заявление без указания статуса единственного родителя:

через Госуслуги или МФЦ как обычный родитель, у которого второй родитель есть, но вы живете отдельно;
приложить все документы по доходам и имуществу, на которые ссылаются в правилах (список есть на Госуслугах и в ПФР/СФР).
Уточнить истинную причину отказа:

в решении СФР должна быть ссылка на конкретный подпункт Постановления № 2330; иногда формулировка «статус единственного родителя не пройден» служит «сопутствующей», а основной причиной является, например, превышение дохода или несоответствие по имуществу.
запросите развернутое пояснение в СФР (через Госуслуги, МФЦ или лично) и попросите указать, соответствуете ли вы по доходам/имуществу как обычный родитель, без статуса единственного.
Буду благодарна за положительный отзыв.