И где есть возможность смотреть штрафы?

Добрый день.

Может ли гражданин РФ водить машину со страховкой Осаго, где он будет вписан?

 Да, он вправе управлять данным транспортным средством, при условии его допуска к управлению на основании включения его в полис ОСАГО в числе лиц допущенных к управлению.

Девушка гражданка Казахстана, в России у нее есть ВНЖ.

 В этом случае если автомобиль в Россию ввозится на срок более одного года, она обязана поставить автомобиль на учет в РФ по общему правилу. Наличие у собственника ВНЖ в России, исключает в таком случае данный автомобиль из участия в международном движении.

Под ним в силу ст. 15 ФЗ  ФЗ от 10.12.1995 N 196-ФЗ «О безопасности дорожного движения»

Требования, касающиеся государственного учета, не распространяются на транспортные средства, участвующиев международном движении или ввозимые на территорию Российской Федерации на срок не более одного года,

Согласно положениям ст. 1 Конвенции о дорожном движении (заключена в г. Вене 8 ноября 1968 года), транспортное средство считается находящимся в «международном движении» по территории какого-либо государства, если оно принадлежит физическому лицу, имеющему обычное место жительства вне этого государства; не зарегистрировано в этом государстве; временно ввезено в него.

Тут действует общее правило, определенное ст. 17 ФЗ от 03.08.2018 N 283-ФЗ «О государственной регистрации транспортных средств в Российской Федерации и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации»

3. Владелец транспортного средства обязан:
1) обратиться с заявлением в регистрационное подразделение для постановки транспортного средства на государственный учет в течение десяти дней со дня временного ввоза транспортного средства на территорию Российской Федерациина срок более одного годалибо со дня приобретения прав владельца транспортного средства, ранее не состоявшего на государственном учете в Российской Федерации;

И при наличии у девушки ВНЖ — она должна в течении 10 дней поставить автомобиль на учет в РФ.