После этого они могут заявить в полицию?

Здравствуйте!

Да, владелец забора может заявить в полицию после того, как вы повредили его имущество в результате ДТП. Однако это не обязательно приведёт к возбуждению дела, так как многое зависит от обстоятельств инцидента и решения собственника.

Правовые аспекты повреждения имущества
Порча чужого имущества может повлечь административную или уголовную ответственность в зависимости от размера ущерба. 

Административная ответственность по ст. 7.17 КоАП РФ наступает, если ущерб незначительный (менее 5 000 рублей). Наказание — штраф от 300 до 500 рублей. 
Уголовная ответственность по ч. 1 ст. 167 УК РФ наступает, если ущерб значительный (5 000 рублей и более). Наказание может включать штраф до 40 000 рублей, обязательные работы до 360 часов, исправительные работы до 1 года, принудительные работы до 2 лет, арест до 3 месяцев или лишение свободы до 2 лет. 
Значительный ущерб определяется с учётом стоимости восстановления имущества и его значимости для потерпевшего. 

Обязанности при ДТП Согласно ПДД, при ДТП водитель обязан:

остановиться, включить аварийные сигналы;
выставить знак аварийной остановки;
не перемещать предметы, связанные с происшествием, до фиксации обстановки (фото, видео). 
Если в результате ДТП повреждено чужое имущество (в вашем случае — забор), водитель должен уведомить владельца и оформить происшествие. В зависимости от ситуации это может быть вызов ГИБДД или оформление европротокола (если нет пострадавших и других сложностей). 

Что произошло в вашей ситуации
Вы не уехали с места происшествия, что уже исключает ответственность за оставление места ДТП (ст. 12.27 КоАП РФ). Вы договорились с владельцем забора о том, что купите материал для ремонта, что можно расценивать как попытку мирного урегулирования ситуации. 

Может ли владелец заявить в полицию Да, владелец забора вправе обратиться в полицию с заявлением о повреждении его имущества. Полиция проведёт проверку, установит обстоятельства инцидента и решит, есть ли основания для возбуждения дела.

Однако несколько факторов могут снизить вероятность уголовного или административного преследования:

Добровольное возмещение ущерба. Если вы выполните обещание и купите материал для ремонта, это может быть расценено как смягчающее обстоятельство.
Отсутствие умысла. Если повреждение произошло по неосторожности (вы не справлялись с управлением), это может повлиять на квалификацию деяния.
Незначительный размер ущерба. Если стоимость ремонта забора не превышает 5 000 рублей, уголовное дело возбуждаться не будет.

Если мой ответ был Вам полезен, Вы можете выразить любую благодарность по этой ссылке: pravoved.ru/pay/lawyer-reward/id/2384674/

Заранее большое спасибо и желаю Вам удачи!