Здравствуйте! В вашей ситуации есть сразу несколько юридически значимых моментов.
Если бывшая жена и дети зарегистрированы в муниципальной (социальной) квартире, то они считаются имеющими право пользования этим жильём, независимо от того, где фактически проживают. Сам факт проживания в купленном доме это право автоматически не прекращает.
Однако покупка дома с использованием материнского капитала накладывает на неё обязанность оформить жилое помещение в общую собственность с детьми и фактически обеспечить им проживание там. Если дети реально живут в доме, но не зарегистрированы — это уже нарушение правил регистрации по месту жительства, предусмотренных законодательством РФ.
Что касается коммунальных платежей — здесь ситуация для матери бывшего мужа и самого бывшего мужа неблагоприятная. Пока бывшая жена и дети зарегистрированы в квартире, начисления законно производятся с учётом всех зарегистрированных лиц. Но при этом есть право требовать перерасчёт, если удастся доказать, что они фактически не проживают (например, через акты, показания, справки).
Также можно поставить вопрос о признании их утратившими право пользования квартирой через суд, если будет доказано, что они добровольно выехали и постоянно проживают в другом месте. Это не всегда простой процесс, но в подобных ситуациях он вполне рабочий.
Ситуация у вас непростая, но решаемая — главное действовать последовательно и опираться на фактические обстоятельства проживания.
С наилучшими пожеланиями, Хабас Феликсович.
Тогда в суде решается вопрос на раз — подавайте иск.