Если у контрактника в контракте написано "Министерство обороны РФ организует проведение

Минобороны определяет потребности службы, а контрактник обязан подчиняться приказам в рамках условий контракта. То есть ключевое здесь — «в соответствии со служебным предназначением». Если командование решает, что для выполнения текущих задач части нужна другая специальность (например, возникла потребность в операторах НСДК и есть вакансия, куда логично перевести водителя), оно вправе организовать переподготовку. 

 НСДК — это «наземная станция дистанционного контроля» (иногда в документах пишут «оператор НСДК»). Это действительно другая техническая специальность, не связанная напрямую с вождением, но востребованная в некоторых подразделениях.

Попросите командира или кадровика выдать выписку из приказа или служебную записку, где чётко прописано, с чем связана необходимость переподготовки (изменение штата, новая задача части и т.п.). Это поможет понять логику и при необходимости оспорить решение.
Поговорите с командиром о навыках, которые вы получите, как это повлияет на ваши дальнейшие перспективы в части, есть ли возможность совместить учёбу с текущими обязанностями.

Здравствуйте, Екатерина, 

Согласно п. 6 ст. 4 «Положения о порядке прохождения военной службы», утвержденного Указом Президента РФ от 16.09.1999 N 1237:

6. Министр обороны Российской Федерации, руководитель федерального органа исполнительной власти или федерального государственного органа, в котором предусмотрена военная служба (далее именуются — руководитель федерального органа исполнительной власти или федерального государственного органа, в котором предусмотрена военная служба), вправе указать в типовой форме контракта конкретные права и обязанности военнослужащих, предусмотренные законодательством Российской Федерации, обусловленные особенностями их военной службы.

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_24400/a47a6ea79aa7616d45e1e5a566bfbc24504ada53/

Приведенная Вами формулировка содержится в Приказе Министра обороны РФ от 18.09.2023 N 625 «О контракте о прохождении военной службы» (Зарегистрировано в Минюсте России 20.10.2023 N 75673):

2) пункт 3 дополнить абзацами следующего содержания:

«В том числе:

а) организует проведение подготовки (переподготовки) военнослужащего по военно-учетной специальности в соответствии с его служебным предназначением;

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_460275/

могут ли его отправить на учебу без его согласия?

Могут, если командование решит что такая переподготовка по новой ВУС соответствует служебному предназначению военнослужащего.

А служебное предназначение военнослужащего (каким образом его лучше использовать, учитывая его знания, опыт, образование и т.п.) — также определяет командование. Военнослужащий обязан подчиниться приказу (он не выбирает, кем быть в армии).

Желаю удачи,

Екатерина, здравствуйте.

могут ли его отправить на учебу без его согласия?

 Да, могут.

По общему правилу ст. 15 Положения о порядке прохождения военной службы военнослужащий может быть назначен на равную воинскую должность в порядке перевода по служебной необходимости  без его согласия.

В силу ст. 11 Положения о порядке прохождения военной службы

6. Назначение военнослужащих на воинские должности должно обеспечивать их использование по основной или однопрофильной военно-учетной специальности и с учетом имеющегося опыта служебной деятельности.
При необходимости использования военнослужащих на должностях по новой для них военно-учетной специальности их назначению на эти должности, как правило, должна предшествовать соответствующая переподготовка.

Таким образом, для целей перевода и назначения военнослужащего на равную должность может быть проведена его переподготовка.

В этой связи командование не лишено права направить его для ее прохождения. Согласия военнослужащего в таком случае не требуется.

Такой перевод и назначения осуществляется исключительно в целях служебной необходимости. Вопреки ошибочному утверждению

Попросите командира или кадровика выдать выписку из приказа или служебную записку, где чётко прописано, с чем связана необходимость переподготовки (изменение штата, новая задача части и т.п.). Это поможет понять логику и при необходимости оспорить решение. 
Таршиков Алексей

Командование не обязано раскрыть причины и обстоятельства принятия решения о переводе и организации переподготовки.

С учетом того. что данное решение отнесено к исключительной компетенции командования и связано с законными требованиями и реализацией собственных полномочий оснований для оспаривания отданного приказа тут не усматривается.

Военнослужащих получивший приказ — обязан его исполнить точно и в срок.

Поэтому направление на переподготовку будет являться обязательным.