Продлить больничный "просто для галочки", без оплаты, чтобы защититься от увольнения - не получится, такого механизма в законе нет: лист нетрудоспособности либо выдаётся по медицинским показаниям и оплачивается в пределах установленного лимита, либо не выдаётся вовсе. Но отказ лечащего врача - это не финальное решение. Продление листка свыше 15 дней принимает не врач лично, а врачебная комиссия (ВК) медучреждения, и Вы вправе требовать направления к ней, если по факту лечение ещё не закончено.
То, о чём говорит врач (10 месяцев + инвалидность) - это лимит на оплату пособия работающему инвалиду, Указ Президента РФ № 1157 ограничивает выплату 4 месяцами подряд/5 месяцами в году, а не запрещает вообще выдачу листка. Но раз инвалидность уже установлена, правильный путь дальнейшего долечивания - не больничный, а продление срока реабилитации через ИПРА (по показаниям продлевается на 30 суток и более).
Отдельно - защита от увольнения. Пока Вы формально на больничном, работодатель не может уволить по своей инициативе (кроме ликвидации организации) - ст. 81 ТК РФ. Но раз лист закрыт и оформлена группа, эта защита перестаёт работать сама по себе, и держаться придётся уже на других основаниях - через ограничения ИПРА и обязанность работодателя предложить подходящую работу перед увольнением по здоровью.