Можно ли покинуть Россию без официального постановления о депортации?

Да, вы можете покинуть Россию без официального постановления о депортации. Сам по себе факт отсутствия такого постановления не запрещает выезд. Закон разрешает иностранному гражданину свободно выезжать из Российской Федерации. 
Но есть важный нюанс, который, судя по вашему рассказу, мог сыграть роль в сложившейся ситуации. Депортация — это принудительная высылка, которая применяется, когда у человека больше нет законных оснований для пребывания в стране (например, истёк срок визы, аннулировали разрешение на временное проживание, вид на жительство и т.п.). Если таких оснований официально нет, то и процедуры депортации нет — значит, и запретить выезд никто не может. 
В вашем случае, как я понимаю, ситуация была иной: сначала возникла проблема с визой (ошибка, из-за которой не выдали приглашение), а затем добавилась болезнь, помешавшая вернуться. То есть законных оснований для пребывания в России на момент задержания у вас действительно не было. В такой ситуации полиция вправе была оформить протокол и принять решение о депортации — но только после того, как установит, что оснований для дальнейшего нахождения в стране нет. А поскольку вы уже находились в России, формально процедуры не состоялось, и у сотрудников не было формального основания для депортации. Поэтому у вас есть право:
обжаловать действия полиции (если были нарушения при задержании);
оспорить само решение о депортации, если оно будет вынесено (его можно обжаловать в суде в течение трёх месяцев).
При этом на границе вас, скорее всего, не выпустят сразу — сначала нужно урегулировать миграционный статус (например, оформить документы для возвращения на родину через дипломатическое представительство Туркменистана в РФ). 
Мой совет: прямо сейчас не принимайте поспешных решений. Обратитесь к миграционному юристу. Специалист проанализирует все детали: как именно возникла проблема с визой, какие есть медицинские и иные обстоятельства, и выстроит правильную линию: обжалование действий полиции, проверка на наличие других законных оснований для пребывания или помощь в оформлении документов для возвращения. Это поможет минимизировать риски и действовать в рамках закона.